Nombre de combinaisons d'éléments d'un ensemble

Propriété

Soit \(k\)  et \(n\) entiers naturels tels que \(0 ⩽ k ⩽ n\) .
Le nombre de combinaisons à \(k\) éléments d'un ensemble \(E\) à \(n\) éléments est noté \(\displaystyle \binom nk\)  et se lit : « \(k\)  parmi \(n\) ».
Ce nombre vaut :  \(\displaystyle \binom nk = \dfrac{n(n-1)...(n-k+1)}{k!} =\boxed{\dfrac{n!}{k!(n-k)!}}\) .

Démonstration

Une liste de  \(k\)   éléments distincts parmi \(n\) est définie par : 

• le choix des   \(k\)   éléments de \(E\) pris parmi les \(n\) éléments de  \(\displaystyle \binom{n}{k}\)  manières ;
  
• la manière d'arranger ces \(k\) éléments entre eux, de \(k!\) manières possibles.
  

Alors, par le principe multiplicatif, le nombre de listes de  \(k\)  éléments distincts est donné par  \(\displaystyle \binom nk \times k!\) . Or, ce nombre est égal à  \(\dfrac{n!}{(n-k)!}\) . D'où   \(\boxed{\displaystyle \binom nk = \dfrac{n!}{k!(n-k)!}}\) .

Exemples

\(\displaystyle \binom 50 = 1\) ,  \(\displaystyle \binom 51 = 5\) ,  \(\displaystyle \binom 52 = 10\) ,  \(\displaystyle \binom 53 = 10\) ,  \(\displaystyle \binom 54 = 5\) ,  \(\displaystyle \binom 55 = 1\) .

Propriété
Pour tout \(n ⩾ 0\) , on a :  \(\displaystyle \binom n0 = 1\) ,  \(\displaystyle \binom n1 = n\)  et  \(\displaystyle \binom n2 = \dfrac{n(n-1)}{2}\) .

Démonstration

Soit  \(n\) un entier naturel.

• \(\displaystyle \binom n0 =\dfrac{n!}{0!\times (n-0)!}=\dfrac{n!}{1\times n!}=1\) .
  
• \(\displaystyle \binom n1 =\dfrac{n!}{1!\times (n-1)!}=\dfrac{(n-1)!\times n}{1\times (n-1)!}=\dfrac{(n-1)!}{(n-1)!}=1\) .
  
• \(\displaystyle \binom n2 = \dfrac{n!}{(n-2)!2!} = \dfrac{n(n-1)(n-2)!}{(n-2)! \times 2} = \dfrac{n(n-1)}{2}\) .

Remarque
Le nombre de parties d'un ensemble à \(n\) éléments est  : \(\displaystyle \sum_{k=0}^n \binom{n}{k}\) .
Donc  \(\displaystyle \sum_{k=0}^n \binom{n}{k}=2^n\) .