Nombre de combinaisons d'éléments d'un ensemble

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Modifié par Clemni

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Propriété

Soit $k$ et $n$ entiers naturels tels que $0 ⩽ k ⩽ n$ .
Le nombre de combinaisons à $k$ éléments d'un ensemble $E$ à $n$ éléments est noté $(\binom{n}{k})$ et se lit : « $k$ parmi $n$ ».
Ce nombre vaut : $(\binom{n}{k}) = \frac{n (n - 1) . . . (n - k + 1)}{k!} = \frac{n!}{k! (n - k)!}$ .

Démonstration

Une liste de $k$ éléments distincts parmi $n$ est définie par :

le choix des $k$ éléments de $E$ pris parmi les $n$ éléments de $(\binom{n}{k})$ manières ;
la manière d'arranger ces $k$ éléments entre eux, de $k!$ manières possibles.

Alors, par le principe multiplicatif, le nombre de listes de $k$ éléments distincts est donné par $(\binom{n}{k}) \times k!$ . Or, ce nombre est égal à $\frac{n!}{(n - k)!}$ . D'où $(\binom{n}{k}) = \frac{n!}{k! (n - k)!}$ .

Exemples

$(\binom{5}{0}) = 1$ , $(\binom{5}{1}) = 5$ , $(\binom{5}{2}) = 10$ , $(\binom{5}{3}) = 10$ , $(\binom{5}{4}) = 5$ , $(\binom{5}{5}) = 1$ .

Propriété
Pour tout $n ⩾ 0$ , on a : $(\binom{n}{0}) = 1$ , $(\binom{n}{1}) = n$ et $(\binom{n}{2}) = \frac{n (n - 1)}{2}$ .

Démonstration

Soit $n$ un entier naturel.

$(\binom{n}{0}) = \frac{n!}{0! \times (n - 0)!} = \frac{n!}{1 \times n!} = 1$ .
$(\binom{n}{1}) = \frac{n!}{1! \times (n - 1)!} = \frac{(n - 1)! \times n}{1 \times (n - 1)!} = \frac{(n - 1)!}{(n - 1)!} = 1$ .
$(\binom{n}{2}) = \frac{n!}{(n - 2)! 2!} = \frac{n (n - 1) (n - 2)!}{(n - 2)! \times 2} = \frac{n (n - 1)}{2}$ .

Remarque
Le nombre de parties d'un ensemble à $n$ éléments est : $\sum_{k = 0}^{n} (\binom{n}{k})$ .
Donc $\sum_{k = 0}^{n} (\binom{n}{k}) = 2^{n}$ .

Source : https://lesmanuelslibres.region-academique-idf.fr
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