Nombre de combinaisons d'éléments d'un ensemble

Modifié par Clemni

Propriété

Soit k  et n entiers naturels tels que 0kn .
Le nombre de combinaisons à k éléments d'un ensemble E à n éléments est noté (nk)  et se lit : « k  parmi n ».
Ce nombre vaut :  (nk)=n(n1)...(nk+1)k!=n!k!(nk)! .

Démonstration

Une liste de  k   éléments distincts parmi n est définie par : 

  • le choix des   k   éléments de E pris parmi les n éléments de  (nk)  manières ;
  • la manière d'arranger ces k éléments entre eux, de k! manières possibles.

Alors, par le principe multiplicatif, le nombre de listes de  k  éléments distincts est donné par  (nk)×k! . Or, ce nombre est égal à  n!(nk)! . D'où   (nk)=n!k!(nk)! .

Exemples

(50)=1 (51)=5 (52)=10 (53)=10 (54)=5 (55)=1 .

Propriété
Pour tout n0 , on a :  (n0)=1 (n1)=n  et  (n2)=n(n1)2 .

Démonstration

Soit  n un entier naturel.

  • (n0)=n!0!×(n0)!=n!1×n!=1 .
  • (n1)=n!1!×(n1)!=(n1)!×n1×(n1)!=(n1)!(n1)!=1 .
  • (n2)=n!(n2)!2!=n(n1)(n2)!(n2)!×2=n(n1)2 .

Remarque
Le nombre de parties d'un ensemble à n éléments est  : k=0n(nk) .
Donc  k=0n(nk)=2n .

Source : https://lesmanuelslibres.region-academique-idf.fr
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